Conceptos Clave
Límites
Valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente tiende hacia un punto específico. Se denota como lim(x→a) f(x) = L. Permite analizar el comportamiento de funciones en puntos donde pueden no estar definidas. Incluye límites laterales, al infinito y formas indeterminadas como 0/0. Fue formalizado por Weierstrass en el siglo XIX mediante la definición épsilon-delta.
Derivadas
Operación matemática que calcula la razón de cambio instantáneo de una función respecto a su variable. Se define como f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h. Representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto. Desarrollada independientemente por Newton y Leibniz en el siglo XVII. Se denota como f'(x), df/dx o Df(x).
Continuidad
Propiedad de una función donde no existen saltos, huecos o discontinuidades en su gráfica. Una función es continua en x=a si lim(x→a) f(x) = f(a). Existen tres condiciones: la función debe estar definida en el punto, el límite debe existir, y ambos valores deben ser iguales. Las discontinuidades se clasifican en removibles, de salto e infinitas.
Regla de la Cadena
Técnica de derivación para funciones compuestas de la forma f(g(x)). La fórmula establece que [f(g(x))]' = f'(g(x)) × g'(x). Permite calcular derivadas de funciones complejas descomponiéndolas en funciones más simples. Por ejemplo, si y = (3x² + 1)⁵, se deriva como 5(3x² + 1)⁴ × 6x. Leibniz desarrolló esta regla como parte del cálculo diferencial.
Máximos
Puntos donde una función alcanza sus valores más altos en un intervalo dado. Los máximos absolutos son los mayores valores en todo el dominio, mientras que los máximos relativos o locales son los mayores en una vecindad específica. Se identifican usando la primera y segunda derivada: f'(x) = 0 y f''(x) < 0. Aplicables en optimización de problemas reales como maximizar ganancias o minimizar costos.
Mínimos
Puntos donde una función alcanza sus valores más bajos en un intervalo determinado. Los mínimos absolutos representan el menor valor en todo el dominio, mientras que los mínimos relativos son los menores en una vecindad local. Se localizan cuando f'(x) = 0 y f''(x) > 0. El teorema de Fermat establece que en extremos locales la derivada debe ser cero o no existir.
Preguntas Frecuentes
Un mapa conceptual del cálculo diferencial es una representación visual que organiza los conceptos clave como Límites, Derivadas, Continuidad y sus relaciones, facilitando el aprendizaje y la comprensión del tema.
Los conceptos principales incluyen: Límites, Derivadas, Continuidad, Regla de la Cadena, Máximos, Mínimos. Cada uno de estos elementos se relaciona entre sí para formar una comprensión completa del tema.
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